Resistencia de las secciones metálicas según EN 1993-1-1:2005

Hace ya tiempo que quería publicar una nueva entrada sobre la capacidad resistente de las secciones laminadas actualizado según la norma europea. El anterior listado, según el CTE, estaba hecho a partir de cálculos con Excel. Esta vez quería darle una vuelta de tuerca. Los ordenadores son muy buenos realizando tareas repetidas con grandes cantidades de números y tenía que haber una forma de automatizar el proceso, reduciendo además el trabajo invertido. 

He intentado alguna vez trabajar en Excel con grandes cantidades de datos y al final las tablas resultan imposibles de manejar. Smath Studio es uno de mis programas favoritos, pero si hay que trabajar con series de datos pierde rápidamente eficacia. La siguiente alternativa era escribir mi propio código.

Decidí empezar con Visual Basic de Visual Studio por su difusión y sencillez, lo cual me llevó su tiempo, pues mis conocimientos de programación son muy básicos y se remontan a los ochenta. Después de un año me sentía algo frustrado, dos tercios o más de mi tiempo invertido era para resolver problemas propios del código y no los problemas de ingeniería en cuestión.

Un día un compañero de trabajo me comentó que había visto a un antiguo compañero de estudios el cual trabajaba para el CERN. Me dijo que para procesar datos empleaban el programa Python. Algo me hizo clic en el cerebro. Yo tenía Python por un lenguaje sencillo para niños, aunque había visto algo para FreeCAD no lo había tomado muy en serio. Investigando un poco por la web descubrí que es un programa muy apreciado por la comunidad científica, pues como en mi caso, quienes lo emplean son físicos o químicos u otra cosa, pero no programadores, y este lenguaje les permite invertir la energía en su trabajo y no en la escritura del código. Después de un año estoy muy gratamente impresionado y aunque el código que escribo es de un nivel bastante simple, no dejo de descubrir nuevas aplicaciones que me facilitan bastante el trabajo.

Volviendo al tema de este post, me remito a lo indicado en mi anterior ‘Resistencia de las secciones metálicas según CTE DBSE-A’.

Según Eurocódigo el coeficiente de seguridad del material es igual a 1,0.

 

El Eurocódigo da libertad para que cada anexo nacional fije un valor para el coeficiente de seguridad. Algunos países le han dado el valor de 1,0, 1,05 o 1,10. Desconozco que haya un anexo nacional español. La EAE 11 le da un valor de 1,05, pero entonces ya no estamos hablando del Eurocódigo. En este documento yo he preferido dejar el valor inicial de 1,0.

Dentro del ecosistema de Python existe el servicio web nbviewer. Allí tengo publicado el código, el formulario empleado es bastante fácil de seguir.

Al ser el Eurocódigo una norma internacional y tener el código publicado en nbviwer y GitHub, he seguido el manual de buenas costumbres y éste está en inglés.

Para más información sobre este asunto y listas con resultados me remito a los siguientes enlaces: 

nbviewer 
GitHub

Scribd 

Para los interesados en Python:

Python

SciPy

Think Python

A Byte of Python

1ª ed. Curso Python para científicos e ingenieros

2ª ed. Curso Python para científicos e ingenieros

Unión atornillada con chapa frontal según EAE 11. Método simplificado para chapa extendida con dos filas de tornillos a tracción. Ejemplo

En el post anterior me quedé con la sensación de que para hablar de un método simplificado había escrito bastante. En este post voy a calcular una unión atornillada con chapa frontal aplicando lo dicho en el artículo anterior y yendo directamente al grano, tal como lo haría en una comprobación simple real.

Como en el caso anterior, se trata de una unión ordinaria de categoría A, el perfil es un HEB 400 con tres filas por dos columnas de tornillos M24. Para aclaraciones a los pasos seguidos me remito al post anterior.

Los cálculos aquí mostrados se han realizado con el programa Smath Studio.

Unión atornillada con chapa frontal según EAE 11. Método simplificado para chapa extendida con dos filas de tornillos a tracción

La nueva Instrucción de Acero Estructural, o EAE 11, ha adoptado el método propuesto por la Norma Europea EN 1993-1-8 para el cálculo de las uniones atornilladas con chapas. Este método está basado en la teoría de las líneas de fluencia. La teoría de las líneas de fluencia es una de las más adecuadas para la comprobación de la seguridad de carga en elementos estructurales formados por chapas con solicitaciones locales elevadas, lo que la hace idónea para el cálculo de las conexiones atornilladas.

Las conexiones atornilladas con chapa frontal se diseñan de forma general para resistir una flexión que genera una tracción en las diferentes filas de tornillos de la chapa. La resistencia a tracción de las diferentes filas de tornillos por su brazo correspondiente debe ser igual o superior al momento flector de cálculo.

M_j,Rd =  F_tr,Rd h_r   (r = 1, 2 … r_max)
M_j,Rd ≥ M_j,Ed

 

La resistencia de cálculo de una fila de tornillos se obtiene del mínimo entre la resistencia de los tornillos y la resistencia a flexión de la chapa frontal. Esta resistencia se determina con ayuda de un casquillo en T equivalente. Para ello se adjudica cada tornillo a un casquillo en T con una longitud efectiva, la cual no debe porque coincidir con la longitud real del casquillo en T ya que depende de la posición del tornillo.

El modelo estático del casquillo en T de la fila de tornillos a tracción exterior se crea al abatir la mitad de la franja de chapa exterior sobre la otra cara del ala de la viga.
 
Por otra parte, los tornillos próximos al alma trasladan la carga en dos direcciones, lo que conlleva una longitud efectiva mayor.

La capacidad de carga de un casquillo en T se obtiene a partir del mínimo valor de los tres modos de ruina dados en la tabla 61.2.a (EN 1993-1-8 tabla 6.2):

F_tr,Rd = min(F_T1,Rd, F_T2,Rd, F_T3,Rd)

Estos tres modos de ruina corresponden a:

1. la plastificación completa de la chapa frontal,
2. al fallo de los tornillos con plastificación de la chapa frontal y 
3. al fallo de los tornillos a tracción.

Método simplificado para chapa extendida con dos filas de tornillos a tracción
Este método supone que tanto la fila de tornillos fuera del ala a tracción de la viga como la primera fila de tornillos debajo del ala a tracción de la viga presentan la misma resistencia de cálculo, por otra parte, el cálculo de las longitudes eficaces se puede reducir incluso a un solo caso.

Aunque en el título se indica que es un cálculo según la EAE 11, este método es igualmente válido para un cálculo según EC 3, de hecho está basado en el párrafo 6.2.7.1 (8) de la EN 1993-1-8. Para aplicarlo según el EC 3 solo hay que tener en cuenta la variación de los coeficientes aplicados.

Para aplicar este método simplificado se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

• Se trata de un empalme entre vigas con chapa frontal extendida.

• Nº de columnas de tornillos: 2

• Uniones atornilladas de categoría A.

• Las filas de tornillos fuera del ala a tracción de la viga y primera fila de tornillos debajo del ala a tracción de la viga se encuentran a una distancia equidistante del ala a tracción.

• Solo las dos filas de tornillos fuera y primera debajo del ala a tracción de la viga reciben los esfuerzos de tracción por flexión en la viga.

• La tercera fila de tornillos próxima al ala comprimida recibe toda la cortante de la viga. Esta fila de tornillos es simétrica a la fila de tornillos debajo del ala a tracción según el eje de la viga.

• En caso de haber un esfuerzo axil éste se reparte a un 50 % entre las filas de tornillos próximas al ala a tracción y al ala a compresión.

El flujo de trabajo se puede resumir en los siguientes pasos:

1. Entrada de datos: cargas perfiles, materiales, dimensiones...

2. Longitudes eficaces.
      2.1 Distancias y separaciones de los diferentes elementos.
      2.2 Longitudes eficaces.

3. Resistencia de diseño de la unión atornillada.
     3.1 Fuerzas de palanca.
     3.2 Resistencia de cálculo del ala del casquillo en T.
     3.3 Resistencia de diseño de la unión atornillada.

4. Resistencias
     4.1 Resistencia a tracción del alma de la viga.
     4.2 Resistencia a compresión del alma y ala de la viga.
     4.3 Resistencia a la cortadura de los tornillos.
     4.4 Resistencia de las soldaduras.
     4.5 Resistencia de la unión atornillada.

5. Comparativa de resultados.

Ejemplo de cálculo
La mejor manera de explicar y comprender este método simplificado es con un ejemplo.

1. Entrada de datos
Sea la unión atornillada de categoría A de un perfil IPE con chapa extendida bajo las siguientes condiciones de carga, geometría y materiales:

Cargas:
NEd = 100 kN (tracción)
My,Ed = 300 kNm   
Vz,Ed = 150 kN 

Perfil:
IPE 500
Material: S 275

Tornillos:
M24-10.9
Ft,Rd = 254 kN
Fv,Rd = 217 kNm

Soldadura:
alma: aw = 6 mm
ala: af = 10 mm

Chapa frontal:
hp = 615 mm
bp = 230 mm
tp = 25 mm

Material: S 275

Respecto al espesor de la chapa frontal las buenas prácticas recomiendan el siguiente criterio:

Siendo d el diámetro nominal del tornillo y t_p el espesor redondeado a 5 mm y no menor de 15 mm.

2. Longitudes eficaces

2.1 Distancias y separaciones de los diferentes elementos (EAE 11 fig. 61.2.b y fig. 61.2.c, EN 1993-1-8 fig. 6.10 y fig. 6.11)
Según la geometría se obtienen las siguientes distancias necesarias para obtener las longitudes eficaces:

m_x = 50 mm – 0,8 * 10 * √2 = 38,7 mm
e_x = 35 mm

m₂ = 49 mm – 0,8 * 10 * √2 = 37,7 mm (m₂ ≈ m_x)

m = 49 mm – 0,8 * 6 * √2 = 42,2 mm

e = 50 mm

w = 130 mm

n = min(e_x, e, 1,25 m) = 35,0 mm

Es importante tomar nota de que m₂ ≈ m_x para poder aplicar este método simplificado.

 

 
2.2 Longitudes eficaces (EAE 11 tabla 61.2b, EN 1993-1-8 tabla 6.6)

Debido al número de casos y a la cantidad de variables que intervienen, lo idóneo es tener una hoja de cálculo donde se recojan todas las operaciones para obtener cada una de las longitudes eficaces y ahorrar un trabajo tedioso.

Por otra parte esto no siempre es posible y en un cálculo rápido manual interesa acortar este camino. En uniones atornilladas con chapa frontal para perfiles con las características geométricas como las indicadas en este método, prácticamente en el 95 % de los casos para perfiles en I y en más del 70 % de los casos para perfiles en H, las longitudes eficaces mínimas para la fila 1 estarán limitadas por el siguiente patrón no circular:

0,5 b_p

Esto es suficiente para realizar unos números rápidos con una aproximación bastante aceptable.

No obstante, en este ejemplo voy a calcular todas las  longitudes eficaces a modo de muestra.

Fila de tornillos 1: fuera del ala a tracción de la viga:

Fila de tornillos considerada individualmente.

Patrones circulares.

2  m_x = 2  38,7 = 243,1 mm

 m_x + w =  38,7 + 130 = 251,5 mm

 m_x + 2 e =  38,7 + 2 * 50 = 221,5 mm

ℓ_eff,cp = mínimo de los anteriores = 221,5 mm

Patrones no circulares.

4 m_x + 1,25 e_x = 4 * 38,7 + 1,25 * 35 = 198,5 mm

e + 2 m_x + 0,625 e_x = 50 + 2 * 38,7 + 0,625 * 35 = 149,2 mm

0,5 b_p = 0,5 * 230 = 115,0 mm

0,5 w + 2 m_x + 0,625 e_x = 0,5 * 130 + 2 * 38,7 + 0,625 * 35 = 164,2 mm

ℓ_eff,nc = mínimo de los anteriores = 115,0 mm 

ℓ_eff,1 = ℓ_eff,nc = 115,0 mm

ℓ_eff,1 ≤ ℓ_eff,cp = 221,5 mm

por consiguiente: ℓ_eff,1 = 115,0 mm 

ℓ_eff,2 = ℓ_eff,nc = 115,0 mm


3. Resistencia de diseño F_Rd de la unión atornillada (EAE 11 tabla 61.2.a, EN 1993-1-8 tabla 6.2)

3.1 Fuerzas de palanca
Primero se comprueba si existen fuerzas de palanca.

Espesor de las arandelas: t = 4 mm
Espesor de la cabeza del tornillo: k = 15 mm
Espesor de la tuerca: c = 20 mm
Sección neta del tornillo: A_s = 353 mm²

Número de filas de tornillos: n_b = 1

Longitud de alargamiento de los tornillos: 

L_b = 2 t_p + 2 t + (k + c) / 2 =
2 * 25 + 2 * 4 + (15 + 20) / 2 = 75,5 mm

L^*_b = 8,8 m_x³ A_s n_b / (ℓ_eff,1 t_p³) =

8,8 * 38,7³ * 353 * 1 / (115,0 * 25³) = 100,1 mm

L_b < L^*_b    por tanto existen fuerzas de palanca.

Este es otro paso que he indicado aquí para mostrar como se deduce si existen fuerzas de palanca, pero que en el caso de una unión atornillada de características similares a la del ejemplo podemos omitir y suponer directamente que sí existen fuerzas de palanca.

3.2 Resistencia de cálculo F_T,Rd del ala del casquillo en T

Fila de tornillos 1: fuera del ala a tracción de la viga:

Momentos plásticos:

M_pl,1,Rd = 0,25 ℓ_eff,1 t_p² f_y / γ_M =

0,25 * 115,0 * 25² * 275 / 1,05 * 10-4 = 471 kNcm

M_pl,2,Rd = 0,25 ℓ_eff,2 t_p² f_y / γ_M =

0,25 * 115,0 * 25² * 275 / 1,05 * 10-4 = 471 kNcm

La diferencia del cálculo entre la Instrucción española y el Eurocódigo se encuentra en el cálculo de momento plástico. Mientras que la EAE 11 considera γ_M = 1,05, el Eurocódigo considera γ_M = 1,00. Si hiciéramos esta comprobación según Eurocódigo obtendríamos M_pl,1,Rd = M_pl,2,Rd = 494 kNcm.

Modo 1 sin chapas de refuerzo:

F_T,1,Rd = 4 M_pl,1,Rd / m_x = 

4 * 471 / 3,87 = 487 kN

Modo 2: 

F_T,2,Rd = (2 M_pl,2,Rd + n  F_r,Rd) / (m_x+ n)

F_T,2,Rd = (2 * 471 + 3,50 * (2 * 254)) / (3,87 + 3,50) = 369 kN

Modo 3: 

F_T,3,Rd = n  F_r,Rd

F_T,3,Rd = 2 * 254 = 508 kN
 
La resistencia de cálculo del casquillo en T equivalente de la fila de tornillos 1 es igual al valor mínimo de las fuerzas F_T.
 

F_t1,Rd = 369 kN

Fila de tornillos 2: primera fila debajo del ala a tracción:
 

Ya que m₂ = 37,7 mm ≈ 38,7 mm = m_x se cumple la simetría de las filas de tornillos más próximas al ala a tracción y por tanto

F_t2,Rd = F_t1,Rd = 369 kN.

3.3 Resistencia de diseño de la unión atornillada

La EN 1993-1-8 sí que impone una restricción en la simplificación para el caso de dos filas de tornillos simétricas al ala a tracción (6.2.7.1 (8)). Aunque la EAE 11 no hace ninguna mención al respecto, yo sí que la voy a considerar para este cálculo simplificado, de hecho esta simplificación se basa en buena medida en este párrafo. Lo que viene a decir la EN es que en el caso de tener dos filas de tornillos simétricas al ala a tracción la resistencia total de ambas filas de tornillos no debe exceder 3,8 F_t,Rd. Dicho de otra manera, al tratarse de 4 tornillos repartidos en dos filas, la resistencia a tracción de la unión se limita al 0,95 de los tornillos traccionados.

F_Rd = F_t1,Rd + F_t2,Rd = 2 F_t1,Rd = 738 kN < 3,8 F_r,Rd = 965 kN

4. Resistencias

4.1 Resistencia a tracción del alma de la viga
La resistencia a tracción del alma de la viga no aplica en el cálculo de la resistencia del casquillo en T de la fila de tornillos fuera del ala a tracción, por tanto no se realiza la comprobación.
 
4.2 Resistencia a compresión del alma y ala de la viga
La resistencia de cálculo total F_Rd = 2 F_t1,Rd no debe superar la resistencia de cálculo del alma y ala de la viga a compresión F_c,fb,Rd definida por
 

F_c,fb,Rd = M_c,Rb / (h – t_fb)

donde
 

M_c,Rb = W_plb f_yb / γ_M0 = M_pl,Rd = 575 kNm (según Eurocódigo: M_pl,Rd = 604 kNm)

F_Rd = 2 F_t1,Rd = 738 kN < F_c,fb,Rd = 575 / [(500 – 16) * 10^-³] = 1188 kN

4.3 Resistencia a la cortadura de los tornillos
La tercera fila de tornillos próxima al ala comprimida recibe toda la cortante de la viga.

2 F_v,Rd = 2 * 217 = 434 kNm

4.4 Resistencia de las soldaduras (EAE 11 59.8, EN 1993-1-8 4.5.3.2)
Las soldaduras no deben limitar la resistencia de la unión atornillada.

Resistencia de la soldadura del ala:
 

F_w,f,Rd = 2 a_f ℓ_eff,1σ_┴ 

σ_┴ ≤ 0,9 f_u / (√2 _M _M2)

F_w,f,Rd = 2 a_f ℓ_eff,1 0,9 f_u / (√2 _M _M2) = 2 * 1,0 * 11,5 * 0,9 * 43,0 / (√2 * 0,85 * 1,25) = 592 kN

Resistencia de la soldadura del alma (longitud recta del alma d = 426 mm):
 

F_w,w,Rd = 2 a_w d _|| 

_|| = f_u / (√3 _M _M2)

F_w,w,Rd = 2 a_w d f_u / (√3 _M _M2) = 2 * 0,6 * 42,6 * 43,0 / (√3 0,85 * 1,25) = 1194 kN

4.5 Resistencias de la unión atornillada
El momento resistente es igual a la resistencia de las dos filas de tornillos a tracción por la distancia al centro de giro. Como las filas de tornillos son simétricas con respecto al ala a tracción, esta distancia se puede tomar desde el centro de fuerzas F_Rd, que es en centro del ala a tracción, hasta el punto de giro, que es el centro del ala comprimida.

Siendo la tercera fila de tornillos próxima al ala comprimida y la fila de tornillos debajo del ala a tracción simétricas según el eje de la viga, se asume que resisten lo mismo a tracción. Al considerar que el esfuerzo a tracción se transmite simétricamente en el perfil y por ende en la unión atornillada, se considera igualmente que la resistencia a tracción es la que aportan simétricamente ambos extremos de tornillos, siendo la fila inferior la limitante. Esto es: 

N_Rd = 2 * F_t2,Rd = F_Rd

 
La resistencia a cortadura de la unión es la resistencia a cortadura de la fila de tornillos situada en la zona comprimida de la unión.

M_y,Rd = F_Rd (h – t_w) = 738 * (500 – 16) * 10^-3 = 357 kNm

N_Rd = F_Rd = 738 kN

V_z,Rd = 2 F_v,Rd = 2 * 217 = 434 kNm

5. Comparativa de resultados
Flexión: M_y,Ed / M_y,Rd = 300 / 357 = 0,84 < 1,00

Tracción: N_Ed / N_Rd = 100 / 738 = 0,14 < 1,00

Cortadura: V_z,Ed / V_z,Rd = 150 / 434 = 0,35 < 1,00

Como el esfuerzo a tracción N_Ed supera el 5 % de la resistencia de cálculo N_Rd es necesario comprobar la combinación de esfuerzos a flexión y tracción:

Flexión y tracción: M_y,Ed / M_y,Rd + N_Ed / N_Rd = 0,98 < 1,00 

Tracción y cortadura: V_z,Ed / V_z,Rd + N_Ed / (1,4 N_Rd) = 0,45 < 1,00 

Se comprueba que la soldadura equivalente del casquillo en T de la primera fila de tornillos ofrece mayor resistencia que el propio castillo.
Soldadura en el ala: F_t1,Rd / F_w,f,Rd = 369 / 592 = 0,62 < 1,00

Para la resistencia a cortante de la soldadura se comparan los esfuerzos.
Soldadura en el alma: V_z,Ed / F_w,w,Rd = 150 / 1192 = 0,13 < 1,00 

Conclusión 

El artículo se ha extendido algo, pero he preferido añadir algunos comentarios y cálculos para ayudar a entender mejor el proceso y de paso que sirva de base para un cálculo completo según norma. 
Este método pretende ser una herramienta simplificada para el cálculo de una unión atornillada con chapa frontal según las normas vigentes donde, de una forma rápida y con medios sencillos (papel, lápiz y calculadora) se pueda realizar una comprobación bastante aproximada y del lado de la seguridad. 

1. El cálculo de las longitudes eficaces se simplifica de manera notable. Si los gramiles son los normales recomendados, la longitud eficaz se puede reducir a 0,5 b_p.

2. Igualmente, para uniones de geometría similar, se puede asumir que existen fuerzas de palanca.

3. Las dos primeras filas de tornillos se suponen a tracción y la tercera a cortadura y tracción si existe esfuerzo axil.

4. Calculada la resistencia de la primera fila de tornillos ésta se iguala a la resistencia de la segunda fila de tornillos.

Este método se puede tomar como base e ir ampliándose según norma con ayuda de una hoja de cálculo y poder aplicar a otros casos que no estén recogidos directamente en la norma. Tanto la EAE 11 como la EN 1993-1-8 se limitan a perfiles en I o H y únicamente con dos columnas de tornillos. Es difícil encontrar un programa de cálculo de uniones atornilladas que aporte algo más que los casos indicados en la norma, y realizar un cálculo por elementos finitos para este tipo de uniones ordinarias es muchas veces imposible por el tiempo consumido.